4. 有理數及無理數 (Rational & Irrational Numbers)
4.1 什麼是有理數?什麼是無理數?
有理數和無理數中的「理」，大家可以理解為「合理」、「條理」、「有理性」。
對我來說，一個數是“有理的”是指我們能準確地掌握和表達到它的值是多少。
4.1 有理數
所有整數、分數、有盡小數和循環小數都是有理數。
其實大家按「“有理數”是指我們能準確地掌握和表達它的值的數」就會明白。
- 整數當然可以一個個咁數，所以係有理數唔奇。
- 分數我地都可以準確地理解到佢係幾多。
- 就算係\(dfrac{3}{23491}\}，我地都知道係把1分成23491份後的3份。
- 有盡小數因為可以變成分數，所以都係有理數。
- 例如 \(0.0023 = \dfrac{23}{10000}\)
- 循環小數因為可以變成鈼數，所以都係有理數。
- 例如 \( 0.\dot{1} = 0.111111111… = \dfrac{1}{9}\)
4.2 無理數
不是“有理數”的數便是無理數。
最常見的無理數有“不能化簡成整數的平方根”（如\(\sqrt{3}\) ）和 \(\pi\)。
4.3 根式的運算
大家要熟習以下幾個最基本的根式運算，
- \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)
依個其實係根式的定義。- 例1: \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\)
- \(\sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a}\)
- 例2: \(\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
- 例3: \(\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}\)
- \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\)
- 例4: \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{6}{3}} = \sqrt{2} \)
- \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)
4.4 根式的化簡
化簡一個根式是指把根號內的數化成最小的整數。這有點像我們化簡分數時把分母和分子“相約”成最小的整數。
例5： 化簡 \(\sqrt{12}\)
解： \(\sqrt{12} = \sqrt{2 \times 2 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
4.5 有理化
把一個分母是無理數的分數“有理化”就是把分母的無理數化成有理數的過程。
例子： 有理化\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)
解：\(\quad \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)