11. 概率 (Probability)
11.1 概率的計算
概率是用來表示一件事件發生的可能性。設E是一件事件，而P(E)則是事件E發生的概率。這基本上就是我們平日所說的「機會率」。
例如擲銀仔擲得“公”的機會率（概率）是1/2可以寫成：
- P(擲銀仔擲得公) = 1/2
P(E) 的計算方法如下：
- \(P(E) = \dfrac{符合事件E的結果的數目}{所有可能結果的數目}\)
11.2 概率的性質
對於任何一件事件E，它發生的概率P(E)有以下性質：
- \(0 \leqslant P(E) \leqslant 1\)
- 當P(E)越大時，E發生的機會越大。
- 當P(E) = 0時，事件E是一定不會發生的。
- 當P(E) = 1時，事件E是一定會發生的。
- 如果E’代表“事件E不會發生”，則
P(E) + P(E’) = 1
這是因為“E一係發生，一係唔發生”是必定的。
11.3 解題技巧
雖然在計算概率時我們可以利用公式：
- \(P(E) = \dfrac{符合事件E的結果的數目}{所有可能結果的數目}\)
但在解答一些較複雜的問題時，我們並不能容易地求得“所有可能結果的數目”和“符合的結果的數目”。這時便需要利用以下的技巧了。
11.3.1 樹形圖
利用樹形圖，我們可以把事情所有可能的結果畫出來。樹形圖通常是用在“有一個過程”的事情上。
例1： 求擲三次銀仔中至少擲得一個公的概率。
解答： 擲三個銀仔的情況可用以下的樹形圖來表示（H代表公；T代表字）：
假如要求「擲三次銀仔中至少有一個公」的概率，利用以上樹形圖，我們可見「所有可能的結果的數目= 8」及「符合至少有一個公的結果的數目 = 7」。
所以，P(擲三次銀仔中至少有一個公) = 7 / 8。
11.3.2 列表
列表通常比樹形圖整齊和容易看。但是因為一個表中只有「列」和「欄」，所以只能用來表示“有二個步驟”的事情（例如擲兩粒骰）。
例2： 求擲兩粒骰時點數之總和為５的倍數的概率。
解答： 擲兩粒骰的點數總和列表如下：
根據上表，P(擲二粒骰時點數之總和為5的倍數) =\(\dfrac{7}{36}\)
11.4 理論概率和實驗概率
以上所提及的概率也是「理論概率」，即利用邏輯推理所求得的概率。而的「實驗概率」就是透過實驗及數據的收集，利用相對頻數所求得的概率。
- 一般計算時，除非題目指明，否則我們用的也是「理論概率」。
值得留意的是只要我們進行大量試驗（例如擲一萬次銀仔），「實驗概率」應與「理論概率」相當接近。
11.5 期望出現的次數和期望值
假設在一次試驗中（如擲骰），一件事件發生的概率是 p。
在經過 n 次試驗後，該事件“會”出現的次數 = np
所謂“該事件會出現的次數”便是“期望出現次數”了。
例3： 小明擲骰60次，求擲得1的期望次數。
解說： 因為擲得“1”的概率是1/6，所以
\(擲得1的期望次數 = 60 \times \dfrac{1}{6} = 10次\)
11.6 期望值
「期望值」其實係「期望次數」的延伸。
例4： 假如喺擲銀仔遊戲中，擲得公可得$5，擲得字可得$1。求擲一次銀仔時期望所得的金戔。
解說： 留意喺概率入面，期望值係“平均我哋會攞到幾多”。
喺依個例子入面，因為有1/2機會擲公，1/2機會擲字，所以：
\(期望所得的金戔 = \dfrac{1}{2} \times $1+ \dfrac{1}{2}×$5 = $3\)
例5：一個袋入面有90個白波，9個黑波，1個紅波。抽到白波得1分、黑波5分、紅波10分。求抽波一次時得分的期望值。
解答：
\(\begin{align}
抽波一次時得分的期望值= \dfrac{90}{100} \times 1 + \dfrac{9}{100} \times 5 + \dfrac{1}{100} \times 10 \\
= 1.45分
\end{align} \)
從以上兩個例子，希望大家明白到：
\(期望值 = P_{1} x_{1}+P_{2}x_{2}+⋯+P_{n} x_{n} \)
當中
- P1、P2為事件1、事件2發生的概率；
- x1、x2為事件1、事件2發生後所得的值
（值可以係“得分”，“奬金”等）