5. 聯立二元一次方程 (Simultaneous Linear Equations)

5.1       解聯立方程之方

5.1.1  代入消元法 (Method of Substitution)

代入消元法係指

• • 先從其中一條方程，利用主項變換嘅技巧，把其中一個變數寫成主項(即 y = 咩咩咩，或 x = 咩咩咩)
  • 再把這關係代入另外一條方程。這樣做的結果是這條方程就只有一個變數。之後就可以利用一般嘅解方程技巧嚟計出變數的答案。
  • 最後再把答案代入隨便的一條方程，咁就可以計到另一個變數的答案。

例2： 解以下聯立方程
\(\quad \quad \left\{\begin{matrix}
& x + 2y = 3 \quad && —— (1)\\
& 3x + 2y = 5 \quad && —— (2)
\end{matrix}\right.\)
解：
\(\begin{align}
\quad 從 (1)，\quad \quad \quad \\
\quad \quad 　x & = 3 – 2y  \quad \quad —- (3)\\
把 (3) 代入 (2)，\\
\quad 3(3 – 2y) + 2y & = 5 \\
9 – 6y + 2y & = 5 \\
-4y & = -4 \\
y & = 1 \\
把  y = 1代入 (3) && \\
x & = 3 – 2(1) = 1 \\
\therefore \quad   方程組的解是& x = 1，y = 1。&&
\end{align}\)

5.1.2  加減消元法 (Method of Elimination)

加減消元法係指

• • 先透過乘大兩條方程，使當中某一變數前的數字變成一樣
  • 再將兩條公式相加(或相減)。這樣做的結果是這條方程就只有一個變數。之後就可以利用一般嘅解方程技巧嚟計出變數的答案。
  • 最後再把答案代入隨便的一條方程，咁就可以計到另一個變數的答案。

例3： 解以下聯立方程
\(\quad \quad \left\{\begin{matrix}
& 3x + 2y = 1 \quad && —— (1)\\
& x – y = -3 \quad && —— (2)
\end{matrix}\right.\)
解：
\(\begin{align}
\quad (2) \times 2，\\
\quad \quad　2x – 2y & = -6  \quad \quad —- (3)\\
(1) +  (3)，\\
\quad 5x & = -5 \\
x & = -1 \\
把  x = -1代入 (2) && \\
(-1) – y & = -3 \\
y & = 2 \\
\therefore \quad   方程組的解是& x = -1，y = 2。
\end{align}\)

5.1.3  圖解法 (Graphical Method)

喺坐標幾何入面，大家應學過
\(\quad \quad ax + by = c \)
其實係一條直線嚟嘅。

而對一組「聯立二元一次方程」嚟講，當中就有兩條直線。每條直線上嘅點都係符合該條直線的方程。而既然「聯立二元一次方程」嘅解係要找到同時符合兩條方程嘅值，所以從圖像上來說，兩線的相交點(Intersection)便是聯立方程的解。

例4：
解以下聯立方程
\(\quad \quad \left\{\begin{matrix}
& x – y – 2= 0 \quad && —— (1)\\
& x + y = 4 \quad && —— (2)
\end{matrix}\right.\)

解：        我地先畫出兩條直線。

• x – y – 2 = 0

• x + y = 4

該兩條直線的交點的坐標是 (3, 1)。

從圖像可知的聯立方程的解是 x = 3及y = 1。