9. 全等及相似 (Congruence and Similarity)

9.2          全等三角形 (Congruent Triangles)

• 當兩個三角形全等時，它們所有對應邊 (corresponding sides) 和所有對應角 (corresponding angles) 都相等。
• 「三角形ABC全等於三角形XYZ」可寫成為 \(\triangle ABC \cong  \triangle XYZ\)
  • 當中的「\(\cong\)」代表全等。
  • 須依照對應角之位置寫出△。

9.2.1     三角形全等的條件

試想像老師向每位學生派3支長度分別係3cm、4cm、5cm的木條，然後叫大家砌出一個三角形。請問有同學能砌出一個與其他人不同的三角形嗎?

無錯！係無可能嘅。所有人砌出嚟嘅三角形都係一樣嘅。所以，只要「兩個三角形三對嘅對應邊都相等」，咁依兩個三角形就係全等(即一模一樣)。為方便書寫，

• 有一對對應邊(side)相等，會寫一個S (S = Side)
• 有一隻對應角(angle)相等，會寫一個A

所以，「三對嘅對應邊都相等」會記作「SSS」。

當明白咗S、A代表咩之後，我地可以重溫一吓能證明返兩個三角形全等嘅條件：

• SSS
  3對對應邊相等。
• SAS
  兩對對應邊相等、而且夾住嗰對應角都相等。
• ASA
  兩對對應角相等、而兩隻角之間嘅邊都相等。
• AAS
  其實因為「三角形內角和係180度」，所以當有兩對對應角係相等嘅時候，第3對對應角都係會相等嘅。因此，當AAS出現嘅時候，其實即係ASA出現，可以唔去記7 (所以喺下面總結嘅圖入面，AAS係灰咗嘅)。
• RHS
  • R 代表兩個三角形都有隻直角 (right angle)
  • H 代表斜邊 (hypotenuse)相等
  • S 代表有對對應邊相等

下面嘅圖就係總結咗喺唔同嘅條件下，嗰兩個△係會點「全等」。大家大可試吓可唔可以按住條件咁畫，而又畫到一個唔同嘅△出嚟。 (畫到嘅話我諗可以去攞諾貝爾法斯特奬!)

再提一提大家：

• • 在上圖中，\(\triangle ABC \cong  \triangle XYZ\) 不可寫作 \(\triangle ABC \cong  \triangle YZX\)。咁係因為我地一定要依照對應角之位置寫出△。

注意：    SSA不能用作證明全等三角形。

下圖中嘅 △DAB  同 △DAC，

• • DA = DA  (公同邊)
  • AB = AC (因為AB同AC都係以A點畫嘅圓嘅半徑)
  • \(\angle BDA = \angle CDA\)因此條件「SSA」出現咗，但好明顯△DAB  同 △DAC係唔一樣嘅。