計數原理

15.1 理解 計數原理 的加法法則和乘法法則 (Understanding the Addition Rule and Multiplication Rule in the Counting Principle)

計數原理 入面嘅“加法”同“乘法”唔係我哋平時用嘅“加減乘除”。

15.1.1 計數原理的加法法則

“加法原則”可以睇成為當我哋數數目時出現“或者”時用嘅數數目方法。

要明白“加法原則”，我哋先睇兩個例子：

• 考慮以下嘅數字：
  　 　1, 2, 5, 12, 14, 15, 17, 22, 28
  當中尾數係2或者係5嘅數字有幾多個呢？
  • 如果我哋由左至由逐個睇，就會見到合乎條件嘅數字包括有“2, 5, 12, 15, 22”。所以答案係5個。
  • 如果我哋將兩個條件分開睇。
    • 尾數係2嘅數字有 2, 12, 22；　尾數係5嘅數字數字有 5, 15。
      所以尾數係2或者係5嘅數字嘅數目 = 2 + 3 = 5 個
    • 依個數數目嘅方法就帶出咗當條件出現“或者”嘅時候，我哋“好似”可以將兩個條件分開嚟逐個數，之後再將兩個結果“加”埋。
• 我哋再睇第二個例子。考慮以下嘅數字：
  　 　1, 2, 5, 12, 17, 20, 29
  當中係2嘅倍數或者係5嘅倍數嘅數字有幾多個呢？
  • 如果我哋由左至由逐個睇，就會見到合乎條件嘅數字包括有“2, 5, 12, 20”。
    所以答案係4個。
  • 如果我哋將兩個條件分開睇。：
    • 2嘅倍數嘅數字有 2, 12, 20；　5嘅倍數嘅數字有 5, 20
    • 如果我哋就咁將“2嘅倍數數目 + 5嘅倍數數目”就會計到5。
      • 好明顯我哋咁數 “係2嘅倍數或者係5嘅倍數嘅數目”係錯咗。
      • 而我哋錯係因為20又係2嘅倍數、又係5嘅倍數，所以我哋“重複數20數多一次”。
      • 要修正我哋嘅數法，我哋就要減返“重複數咗嘅數目”。
        因此，“係2嘅倍數”或者“係5嘅倍數”嘅數字數目
        =2嘅倍數數目 + 5嘅倍嘅數目 – 又係2嘅倍數又係5嘅倍數數目
        = 3 + 2 – 1 = 4

總結以上嘅例子，我哋可以得出“計數原理的加法法則”：

• “乎合條件A”或“乎合條件B”嘅物件數目
  = “乎合條件A”嘅數目 + “乎合條件B”嘅數目 – “同時乎合條件A及B”嘅數目

15.1.1 計數原理的乘法法則

至於“乘法原則”，雖然佢係喺《數”數目”原理》，但其實已經唔係數我哋見到嘅嘢，而係講緊“有幾多個組合或配搭方法”。

用返常餐做例子。

• 假設常餐係“一樣食品 + 一樣飲品”組合而成。
  • 餐廳嘅食品有：火腿公仔麵、火腿通粉。
  • 飲品有：熱奶茶、熱檸茶、熱華田。
  • 咁到底餐廳可以整到幾多種常餐呢？
• 我諗你應該都會知道係有6種。不過就唔知你可唔可以解釋點解（唔好只係答：咪3×2囉！）。
• 如果要解，我哋可以咁講：
  • 常餐嘅組合可以睇係兩個步驟：1) 選定食品 2)選定飲品
  • 先考慮選定食品，因為有兩種食品，所以我哋有兩種選法。
  • 而對於選定咗嘅每種食品，我哋都可以再有三種飲品選擇。而每選咗飲品之後都會有唔同嘅餐出現。
  • 因此我哋就有兩個“三種飲品選擇”咁多嘅常餐配搭。
    • 用數學方式表達就係：常餐嘅配搭方法 = 2 x 3 = 6

總結以上嘅例子，我哋可以得出“計數原理的乘法法則”：

• 如果某件事可以分為2個步驟嚟完成，而完成第一個步驟有a咁多個方法，完成第二個步驟有b咁多個方法。咁我哋就有 “a乘b”咁多個方法嚟完成依件事。
  • 當然，如果件事可以分成3個步驟，咁我哋亦只要將每個步驟嘅可行方法相乘就OK。

喺依課度大家最緊要明白嘅係：

• 我哋用唔同條件嚟數“數目”嘅時候有時會“重複數多一次”。
• 當一事件可以睇成為多個步驟嘅時候，咁我哋可以用嘅方法或配搭數目係用乘嚟計嘅。