聯變和部分變
6.3 理解 聯變和部分變 及其在解現實生活問題時的應用 (Understand Joint Variations and Partial Variations, and their Applications to Solving Real-Life Problems)
聯變和部分變 可以話係將正變和反變以不同形式結合。
6.3.1 聯變 (Joint Variations)
- 聯變係兩個或以上嘅“正變、反變”結合之後嘅關係。
- 變數嘅數目由之前正變、反變嘅“一對一”（即y隨x正變）變成“一對幾”（例如y隨x正變及隨z2正變）。
- 而亦因為“結合”嘅形式可以千變萬法，所以冇一定嘅數式。
- 不過只要按文字描述一個一個咁寫出嚟，其實都好容易。
- “將文字描述嘅關係變成一條數式”亦是大家要學嘅嘢。
- 數式： y = kxz2 （k 為非零常數）
- 留意x同z2係用“乘”連埋嘅。
- 數式：\( y=\dfrac{kx}{r^{2}}\) （k 為非零常數）
- 留意因為y隨r2反變，所以數式入面會出現1/ r2。
- 而最後x同1/ r2都係用“乘”連埋嘅。
- 大家亦可以睇成“有反變關係嘅變數會放喺分母度、而有正變關係嘅變數就會放喺分子度”。
喺HKDSE考試中聯變通常會連埋百分數一齊考。例子如下：
- 先寫條數式出嚟：
\(y=k\dfrac{x}{r^{2}}\) - 當r 增加10%時，r的新值 = r ( 1 + 10%) = r (1.1) = 1.1r
- 當x 減少5%時，x的新值 = x ( 1 – 5%) = x (0.95) = 0.95x
\(\begin{align}
& \therefore, y的新值 \\
& =k\dfrac{0.95x}{(1.1r)^{2}} \\
& =\dfrac{0.95}{1.1^2}(k\dfrac{k}{r^{2}}) \\
& = 0.79 (k\dfrac{k}{r^{2}}) \\
& = 0.79 (y的舊值)
\end{align}\)
因為y由“1y”變成“0.79y”，所以y減少了21%。
6.3.2 部分變 (Partial Variations)
- 喺到部分變入面，變數與變數之間嘅關係係“加”同“減”。
- 重溫：喺“聯變”度，變數與變數之間的關係係“乘”同“除”。
- 同聯變一樣，喺部份變入面：
- 變數嘅數目由之前正變、反變嘅“一對一”（即y隨x正變）變成“一對幾”（例如y隨x正變及z2正變）。
- 而“結合”嘅形式亦係千變萬法，所以冇一定嘅數式。
- 同樣地，大家要學嘅亦係 “由文字描述嘅關係變成一條數式”
- 數式： y = k1 + k2x （k1，k2 為非零常數）
- 留意“固定不變”即係等於一個常數。
- 另兩個部份當中嘅常數係唔同嘅，所以用k1同k2。
- 同學亦可以a, b等英文字母
喺DSE公開試卷子入面，出得嘅基本上都係部份變 (因為其嘅課題唔夠比考評局出長題出)。
我地就睇吓以下嘅例子。
解說：
- 根據題目， y = k1 + k2x2 （k1，k2 為非零常數）
- 因為要計“當x = 3時y的值”，我哋要先求k1 同k2係幾多。
- 方法同“6.1.3 解現實生活問題時的應用”入面所提到嘅差唔多。
- 我哋可以利用題目俾我哋嘅兩個實際例子搵到兩條方程。
- 當x=2時，y=14
k1 + 4k2 = 14 - 當x=1時，y=11
k1 + k2 = 11
- 用計數機可以輕易計到依兩條“聯立方程”嘅答係係k1 = 10同k2 = 1。
- 方法同“6.1.3 解現實生活問題時的應用”入面所提到嘅差唔多。
- 有咗k1 同k2，我哋要先寫返好條式： y = 10 + x2。
- 所以當x = 3時， y = 10 + (3)2 = 19