函數的直觀概念
§ 數學成績唔好嘅同學一般都比較驚函數 ，原因多係因為函數嘅題目入面符號比較多（例如f(x)、g(x)等）。其實只要掌握好 函數的直觀概念 (即從例題中去學一D知識、而唔係又數學定義嘅角度嚟學)，函數都唔係太難明。
2.1 函數的直觀概念 – 認識函數、定義域、上域、自變量及應變量的 直觀概念 (Recognise the Intutive Concepts of Functions, Domains and Co-domains, Independent and Dependent Varaibles)
2.1.1 函數的直觀概念 (函數是什麼？)
- 函數可以話只係一種記號，用嚟代表一條數式。
- 例如有條數式 3x2 + 5x – 1
- 我哋可以用一函數 f(x) 代表佢，即： f(x) = x2 + 5x – 1
- f(x)中嘅”f”其實係由函數嘅英文“function”度嚟嘅。
- 你可以當 f 係 數式x2 + 5x – 1 嘅代號/名。
- f(x)中括號入面嘅x係話俾我哋知數式入面嘅變數係x
- 即其他係數字
- 當一個函數可以用 f(x) 嚟代表嘅時候。咁第二個、第二個嘅函數又可以點叫呢?
- 簡簡單單咪用其他英文字母嚟代表個函數囉!
- 通常會用f後面嘅g、h等。
- 簡簡單單咪用其他英文字母嚟代表個函數囉!
- 同一道理，當變數唔係叫x而係叫 θ，我地只要將變數符號寫喺括號入面就可以了。
- 所以大家有時會見到 g(x), h(θ)等嘅出現囉！
明白函數嘅記法之後，再睇返下面嘅函數就咪覺得容易理解好多呢?
- \(g(x)=\dfrac{x+1}{2x-3}\)
- g(x) 只係一個代號，代表等號右邊嘅數式。
- \(f(\theta)=2sin(90^{\circ}-\theta)\)
- \(f(\theta)\)亦都只係一個代號，代表等號右邊嘅數式。
- 如果我哋用公式嘅講法，我哋可以話： y
- = 6x
- 用函數嘅講法，我哋會話：
- y = f(x)； 而 f(x) = 6x
你可能會覺得用公式嘅寫法咪幾好，簡簡單單。
- 但其實函數嘅好處係方便表達（唔駛次次都寫條數式）。
- 另外我哋亦可以當f(x)係一個電腦程式，我哋只要俾個x嘅值佢，佢就會幫我哋計個答案出嚟。（當然喺考試當中，我哋要用人手計。）
2.1.2 定義域、上域和值域
要講解咩係“定義域、上域和值域”，最好就係用例子。
- 用返前面小明買汽水嘅例子：
- 汽水每枝$6。
- 設小明買咗x咁多枝汽水。
- 小明用嚟買汽水嘅錢可以被定義為一個函數 f。
- 因此 f(x) = 6x
- 喺買汽水嘅例子入面，函數f(x)的定義域係“大過或等於0的整數”，即 \(x \geqslant 0\)。
- 點解？你諗吓小明可唔可以買到 –2或者5枝汽水？
- 因為課程中只要求大家認”直觀概念”，所以唔會講上域嘅定義。
- 簡單嚟講，上域係指”函數可能的值“。
- 喺買汽水嘅例子入面，因為x係大過或等於0。
- 所以 6x 亦必大過或等於0。
- 因此，函數f的上域可以係“大過或等於0的整數”。
- 值域（Range）喺中學文憑嘅課程指引入面係冇提過嘅。
- 不過一般嚟講，當中嘅分別對同學嚟講意思不大。
- 如果想知， 值域係“將所有x的可能值代入函數f後所對應的值”。
- 喺買汽水嘅例子入面，x = 0, 1, 2, 3…
- 所以，函數f的相應值係“0, 6, 12, 18, 24, ….”
- 所以函數f的值域係“0或6的倍數”。
由以上嘅解釋，大家可以將“上域”睇成為一個“比較粗略嘅講法”；而“值域”就好實在咁講到明“經過個函數運算之後嘅值可以係咩”。
- 喺買汽水嘅例子入面，我哋亦可以話“上域”係“0或者雙數”。
- 好多時候，“上域”同“值域”根本就會係一樣。
唔知大家睇到依度到底明唔明咩係“定義域”同“上域”。
- 其實函數可以學到好深……不過我諗喺中學文憑度考評局都係想大家對有個“粗略”認識。所以如果你睇唔明上面嘅解釋，你可以當：
- 定義域 = x嘅所有可能值
- 上域 = f(x)嘅所有可能值
2.1.3 自變量及應變量
- 又用多次前面小明買汽水嘅例子：
- 汽水每枝$6。
- 設小明買咗x咁多枝汽水。
- 小明用嚟買汽水嘅錢可以被定義為一個函數 f。
- 因此 f(x) = 6x
- 如果設小明用咗y咁多錢，咁 y = f(x) （或 y = 6x）
- “自變量”係“可以自己改變嘅變量”
- 所以“買汽水嘅數量”（x） 就係自變量。
- “應變量”係“因應其他變量改變便而改變嘅變量”
- 所以“買汽水所用咗嘅錢”（y） 就係應變量。
- 所以“買汽水所用咗嘅錢”（y） 就係應變量。